WordPressのプラグイン「Jatpack」は、サイトのダウン監視までしてくれてます。
ただ、Jetpackによるサイトダウン通知の真偽がわからず、ダウンメールが来た後に、実際にサイトにアクセスしてみました。

Jetpackがサイトダウンタイム監視がメール通知をしてきた時にWordpressは503エラーでした

Jetpackのダウンタイム監視の成否確認メールは正しかった。

その時にWordpressサイトにアクセスしてみた所、確かに、その間サイトがダウンしており、503エラーを出力していました。

Jetpackモニターのダウンタイム監視メール

Jetpackは無料で、上記のようなメールを送ってくれます。
無料でサイトのダウンタイム監視が出来るなんて、便利ですよね！

しばらくすると、サイトが稼働中になるので、レンタルサーバー側の問題になるのですが、
しかし、それにしてもこちらのサイトはアクセスが増えて来たせいかダウンタイムが数日に一回起きますので、何とか手を打たなければならないです。

レンタルサーバー先のさくらインターネットに問い合わせてみた

こちらのwordpressサイトはさくらインターネットのレンタルを借りて運営しているのですが、さくらインターネットに問い合わせをかけてみました。

メモリ使用量の上限に達した為にプロセスが強制終了
されている履歴がございました。500エラーを返される要因とも
なりえます。

さくらのレンタルサーバは、複数のユーザが1台のサーバに同居する共用
サーバサービスでございます。

本サービスでは多くのアクセスにも耐え得るよう、サーバ環境を設計、構築
しておりますが、1ユーザがサーバリソース(CPU、メモリ、ネットワーク帯域
等)を独占することのないよう、いくつかの項目について予め制限を設けてお
ります。詳細は非公開でございます。

まあ、簡単に言いますとアクセスが増え、リソースの上限に達したので、自分でリソースを節約する作りにして欲しい。 アクセス数の多いコンテンツは静的コンテンツに切り替えるなどして、自分でメモリ使用量の削減を図ってください 。

とのこと・・・・無理です、、、

さくらインターネットさんの契約プランでリソース不足を解消するプランが無いか確認してみると？

メモリ使用量の上限などのサーバリソースの制限値は、転送量を除いて
さくらのレンタルサーバ全プランで同一でございます。

コンテンツ側での対応が難しく、プラン変更でご対応を検討される場合は、
さくらのマネージドサーバへの移行をご検討ください。

ということで、さくらインターネットさんのマネージドサーバを調べてみると、
月額がいきなり、1万円超え！！！・・・無理です、、、
どしたら、月額515円のプランを借りている個人が、いきなり月額一万円も払う気になると思うのでしょうか、、、もっと段階を追った金額アップにしてもらいたいところですが、

残念ながら、さくらインターネットさんのプランでは解決が難しそうな事はわかりましたので、サイト移転を検討しました、移転先はエックスサーバーで検討中です。